De mult timp m-am întreat cum pot calcula viteza cu care un satelit orbitează în jurul Pământului și am aflat răspunsul de la PurdueMET, un canal YouTube de unde poți învăța cum să rezolvi diferite probleme de inginerie și matematică.
După cum bine știi, dacă unul dintre sateliți nu își menține o anumită viteză pe orbită, acesta cade spre Pâmânt sub influența gravitației cu o accelerație de 9.81 m/s2. Pentru ca un corp să graviteze în jurul Pământului trebuie ca accelerația centripetă (sau g, cea generată de atracția Pâmântului) să fie egală cu accelerația centrifugă (cea care ar face ca satelitul să se îndepărteze de Pământ).
În filmul de mai sus Mark French ne explică modul de calcul pentru aflarea vitezei cu care un satelit se poate menține pe orbită la o anumită înălțime.
Se știe că diametrul planetei noastre este De=12 742 km (raza R= 6371 km), g = 9.81 m/s2 iar G (constanta universală a gravitației )= 6,674 * 10-11 m3/kg*sec.
Se pornește de la formula generală a gravitației:
,
unde M1 (masa Pământului), M2 (masa unui obiect oarecare) sunt masele celor două corpuri într-un câmp gravitațional iar R este distanța dintre ele.
Din ecuația de mai sus putem face un raport între forță și M2 și vom obține ecuația de mai jos:
Ghicește ce este f/M2! Este chiar g, accelerația gravitațională din formula F= mg.
Putem vedea apoi că GM1/R2 este egală chiar cu g.
,
de unde
De vreme ce știm cât este g, nu este nevoie să știm masa Pământului, de aceea ne folosim de ecuația de mai sus.
Dacă facem calculul vom afla că GM1 = 3.98 * 1014 m3 / sec2.
Rezultatul acesta îl vom folosi în formula de mai jos
,
și, după ce adăugam faptul că un satelit este la înălțimea de h = 400 km, vom avea formula de mai jos:
,
acel g ce îl vezi este, de fapt, noua accelerație gravitațională pe care va trebui să o calculăm. Cum toate elementele din stânga sunt cunoscute, vom obține o accelerație de g= 8.682 m/s2.
Ca să ne apropiem de finalul demonstrației, trebuie să ne folosim de formula accelerației centrifugale:
,
de unde viteza va fi
Vei observa că ac, este, de fapt, noul g calculat și că R, este, raza Pământului + 400 de kilometri altitudine.
Rezultatul: v = 7667,3 m/sec.
Care ar fi viteza la nivelul solului+1 metru? Ar fi cam 7905,6 m/s. Bine, bine, ai să întrebi, dar cum de avioanele rămân în aer la viteze mai mici? Ei bine, raspunsul e în întrebare. Tocmai interacțiunea cu aerul generează portanță, adică o forță ce ridică un avion de la sol la viteze mult mai mici comparat cu o planetă care nu ar avea aer.
Acum putem dormi liniștiți.
Formulele de matematică le-am creat cu mathurl.